Thorlabs PAX1000不准直会发生的现象及原因探寻

0 现象

1. 前几天使用matlab visa库控制PAX1000测试光芯片偏振调制时，发现偏振输出会在邦加球上两条调制曲线之间无规律横跳：
   
   固定某个调制电压，发现偏振态会在两个邦加球两点之间无规律横跳。

2. 为了排除光芯片的原因，我直接向PAX1000打入单模耦合输入的偏振光（正确做法是拿保偏接，但是单模短时间内偏振变化不会太大），记录120s内visa以1Hz速率传输的数据和120s中某一时刻PAX1000自带软件的截图，可以发现：

• 使用matlab visa库读取的方位角(Azimuth θ)、椭圆率角(Ellipticity η)会横跳；
• 使用PAX1000自带软件测试不会横跳；
• PAX1000自带软件数据在横跳数据之间，但不是正中间。

1 朔源

查阅手册发现原因可能是前些天准直器松动后我重新固定了，但是没有准直。而没有准直会出现以下问题，即引入奇数次谐波：
“The angular alignment is critical for another reason: As explained in the section Rotating Waveplate Technique , the photo current is analyzed by a Fast Fourier Transformation and ideally
consists only of even-numbered components (harmonics). If the beam hits the waveplate not
exactly perpendicular, unwanted odd-numbered harmonics will appear in the photo current. The
same happens, if the incident beam consists reflected from the inner surface of the hollow shaft
light components. These unwanted components have a significant impact on the measurement
accuracy. The Alignment Assistance tool can be used to align the beam, which will minimize
the contribution from unwanted components.”

于是我手动准直了一下PAX1000，发现数据反复横跳的现象确实消失了，且visa读出数据与软件数据完全吻合。然而，为什么不准直会引入奇数次谐振？为了解释这个问题，我们首先要知道PAX1000的工作原理。

由于PAX1000使用了上世纪的旋转波片技术，所以随便翻一本经典的偏振书籍就能找到解释：不同的偏振光经过旋转1/4波片及固定极化片，再经过光电探测可以得到随时间变化的光电流

$$I(\theta)=\frac{1}{2}\left[\left(S_{0}+\frac{S_{1}}{2}\right)+\frac{S_{1}}{2}\cos4\theta+\frac{S_{2}}{2}\sin4\theta-S_{3}\sin2\theta\right] \\=\frac{1}{2}[A-B\sin2\omega t+C\cos4\omega t+D\sin4\omega t]$$

这是傅里叶展开，于是可以通过积分算系数，再解方程求偏振参数：

$$\begin{aligned}&A=\frac1\pi\int_0^{2\pi}I(\theta) d\theta\\&B=\frac2\pi\int_0^{2\pi}I(\theta)\sin2\theta d\theta\\&C=\frac2\pi\int_0^{2\pi}I(\theta)\cos4\theta d\theta\\&D=\frac2\pi\int_0^{2\pi}I(\theta)\sin4\theta d\theta\end{aligned}$$

由于现实中没有积分器，于是采样并求和，就得到了PAX1000的数据处理方法：

$$\begin{aligned} A & =\frac{2}{N} \sum_{n=1}^{N} I\left(n \theta_{j}\right) \\ B & =\frac{4}{N} \sum_{n=1}^{N} I\left(n \theta_{j}\right) \sin 2 n \theta_{j} \\ C & =\frac{4}{N} \sum_{n=1}^{N} I\left(n \theta_{j}\right) \cos 4 n \theta_{j} \\ D & =\frac{4}{N} \sum_{n=1}^{N} I\left(n \theta_{j}\right) \sin 4 n \theta_{j} \end{aligned}$$

这个表达式里面确实只有偶数项，那奇数项会从哪里引入呢？另外，为什么只在两个值之间横跳？再仔细翻阅手册，可以发现这么一段话：
“The photo current measured during this half turn is analyzed by a Fast Fourier Transformation (FFT). By default, the FFT “splits” the data into 512 measurement points (ADC values).”
好家伙，难道用visa时我只用了半圈去计算？于是我试了下将软件调成以半圈为周期计算，结果还真是反复横跳，且相当规律：

这样一来，我们要解决的问题就变成了：
当没准直时，且使用半圈去计算时，为什么偏振结果会跳变？

2 原因

当没有准直时，光线即使斜入射波片，也不会造成前半圈和后半圈结果不同，所以不对称很可能来源于波片瑕疵。然而，假如确实是由波片不完美导致的，由于旋转过程中光束落点处波片厚度不同，那么准直入射的情况也应该显现出偏振跳变。实际情况是，只有未准直的光束显现出了偏振跳变，所以肯定不是由于波片瑕疵导致的。

在查阅文献后，我找到了可能的问题来源：实际情况中，波片平面与其旋转轴肯定不是完美垂直，而是存在一个角度”Wobble”，而当波片高速转动时，由于离心力这个角度放大。

为了说明”Wobble”可能导致偏振跳变的情况，我们分别考察准直和不准直的两种情况：

1. 准直时，在波片旋转的过程中，入射光线和主轴的夹角不会发生任何改变。这里用mathematica做了一个动画演示，其中蓝色向量代表入射光线，灰色圆盘代表波片，绿线代表波片主轴，红色向量代表波片法向，设置”Wobble”=30°。另外，我画出了旋转过程中入射光线和主轴的夹角。可以发现，在波片旋转过程中夹角不发生任何改变：
   
   
   另外，稍微想一下也会发现光束落点也不会影响半圈一致性。

2. 不准直时，入射光线和主轴的夹角发现改变，且有99.9999…%的可能性使半圈对称性“破缺”。这里同样做了动画演示，配置同上，入射光线偏斜45°。可以发现，在波片旋转中入射光线和主轴的夹角一直在变化，且前半圈和后半圈不具有对称性：
   
   

然而有一种特殊情况不会导致对称性“破缺”，这种情况几乎不可能发生，这种情况下主轴在旋转时不会于准直入射方向发生夹角的改变，因此等价于光束斜入射”Wobble”=0°的波片。

3 闭环

1. 没准值时visa偏振跳变是由于没有下发整数圈数据处理的指令。
2. 准直时用半圈处理数据不会导致偏振跳变。
3. 理想/非理想情况下(当不存在/存在wobble时)，准直且用用半圈处理数据不会导致偏振跳变。
4. 理想情况下(当不存在wobble时)，没准直且用用半圈处理数据不会导致偏振跳变。
5. 非理想情况下(当存在wobble时)，没准直且用用半圈处理数据会导致偏振跳变。
6. 手册中不准值时引入奇数项的具体含义是：光强中不仅有二次项（半圈）以及四次项（1/4圈）存在了，还引入了一次项（1圈）。

参考文献及代码链接

1. Williams P A. Rotating-wave-plate Stokes polarimeter for differential group delay measurements of polarization-mode dispersion[J]. Applied optics, 1999, 38(31): 6508-6515.
2. mathematica笔记本链接