对频率啁啾的定量理解

0 简介

众所周知，在信号路径某点上，信号的时域波形表达式如下:

$$E_k(t)=\sqrt{I_k(t-t_k)}\exp\{2\pi i[\nu_k(t-t_k)+\beta(t-t_k)^2+\phi_k]\},$$

其中$I_k(t)=\exp\{-t^2/2\tau_p^2\}/(\tau_p\sqrt{2\pi})$是强度的时域包络，下图为半高宽$\tau_p=50 ps$的包络：

$\beta$是和频率啁啾有关的量，其量纲为[$1/s^2$]，不难发现可以类比于加速度。实际上，$E_k(t)$的相位项就是人为的泰勒展开。$\varphi(t)=\nu(t-t_k)+\beta(t-t_k)^2+\varphi_k$完全就是匀加速运动中路程表达式的类比：$x = vt+1/2at^2+x_0$，所以$\nu(t) = \nu+2\beta t$，即$\beta$的符号决定$\nu(t)$随时间的增减，进而引出所谓的正负啁啾概念。

然而，有一个值得思考的点是：$v(t) = v+at$可以小于0，即速度方向可以相反，而频率$\nu(t) = \nu+2\beta t$应当总是正的，假如$\beta$足够大使得$\nu(t)$在时间上出现频率0点，那么会怎样？

1 仿真分析

由于光频一般都是几百THz的水平，所以1ps内光已经震动了几百次，50ps内线性项震动了近万次，mathematica看不出任何细节，所以这里仿真的光频为0.06THz，这样在±200ps内线性项大概震动20次；另外，由于非线性项为2次，所以$\beta$也要在0.06的基础上除以大约一个仿真时间的数量级以保证mathematica看出细节，这里$\beta$范围先选取为$[-0.001, 0.001]$：

可以发现，当$\beta$为某一个值时，频率并非我们想的那样随时间单调增加或单调减少。从$\varphi(t)$的图像可以看出频率0点随着$\beta$的变化，这与$E_k(t)$低频项的位移是一致的：

我们再把$\beta$范围缩小为$[-0.0001, 0.0001]$进行仿真，可以发现当$\beta$为某一个值时，频率随随时间单调增加或单调减少了，这种情况就符合我们对于正负啁啾概念的认知：

这也能从$\varphi(t)$的图像进行解释，其斜率总是单调的：

2 实际DFB激光器是哪种情况？

1550 nm光频大约为193THz，$\beta=0.02 /ps^2$，这样的参数带入mathematca就是一团浆糊。所以这里取出时刻片段200~200.01ps,对$tk$进行扫描以看清波形的细节和全貌：

观察到：频率几乎不随时间变化。我们可以从$\varphi(t)$图像进一步验证我们的观察：

可以发现，斜率变化相当小，即频率变化相当小；另外，即使在$\beta=0.1$这种尺度范围内，频率依然是单调的。所以可以推断，实际中一般不会出现频率为0的情况，但是不排除这种情况能够被物理实现。

参考文献及代码

1. Yuan Z L, Lucamarini M, Dynes J F, et al. Interference of short optical pulses from independent gain-switched laser diodes for quantum secure communications[J]. Physical Review Applied, 2014, 2(6): 064006.
2. mathematica笔记本链接