Hwang2003-精简版

Hwang W Y. Quantum key distribution with high loss: toward global secure communication[J]. Physical review letters, 2003, 91(5): 057901.

主要内容：

• 提出诱骗态协议（1强度信号$\mu$ + 1强度诱骗$\mu^\prime$；$\mu<1$，$\mu^\prime\geq1$）；
• 对于信号光和诱骗光都是相干态的情况，得到$\Delta$估值的上界：这个上界的得出是假定Eve进行了最歹毒的PNS攻击，得到的$\Delta$估值只和$Y_d$有关；当没有Eve时，$\Delta$估值甚至和测量结果以及信道无关，因此十分不紧凑，会浪费很多密钥；
• 得到的这个不灵活的上界只能作为能否成码的判据。

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• 注：原文中$Y$表示Gain $Q$,$y$表示Yield $Y$。虽然不常规，但本文沿用该标记。

• 先看一个例子。现在有两种光子数统计分布的光源：

  • I光源（作为信号光）的脉冲有90%的概率发送单光子，有10%的概率发送多光子；
  • II光源（作为诱骗光）有10%的概率发送单光子，有90%的概率发送多光子；
  • 它们的平均光子数相同，为$\mu$；

  然后Eve对它们进行PNS攻击：先对每个脉冲进行光子数测量，如果是单光子则丢弃，如果是多光子则扣掉一个留给自己，剩下的发给Bob。可想而知Bob的探测事件大部分将由II光源提供(即$Y_{II}^m>Y_{I}^m$,$m$表多光子成分)，而这可以通过Alice和Bob后处理过程中强度比对得知，于是Alice和Bob能发现Eve进行了PNS攻击。这是诱骗态协议的核心思想。

• 如果Eve不想让Bob大部分探测事件由II光源提供，那么需要$Y_{I}^m$越大越好。写出它们的表达
  式：

  $$Y_{I}^m=\sum_{n=2}^\infty P_n^{I}(\mu)y_n$$ $$Y_{II}^m=\sum_{n=2}^\infty P_n^{II}(\mu)y_n$$ $$Y_{II}=\sum_{n=1}^\infty P_n^{II}(\mu)y_n$$

  很容易得出不等式：

  $$Y_{I}^m=\frac{Y_{I}^m}{Y_{II}^m}Y_{II}^m\leqslant\frac{Y_{I}^m}{Y_{II}^m}Y_{II}=MAX(Y_{I}^m)$$

  这个$MAX(Y_{I}^m)$也即Alice和Bob估计出的被标记信号数的上限，即他们可以估计得到$\Delta \leq MAX(Y_{I}^m)/Y_S$.(Wang2005)

  如果I和II光源都是相干态，那么推导可得Eve具有一种最歹毒的攻击策略，即原文式$(8)$，于是Alice和Bob可以由此估计出$MAX(Y_{I}^m)$。

• 为了成码，必须满足Bob端接收事件数大于被Eve攻击的事件数。如果全用信号态成码，那么需要： $$Y_{S} \geqslant MAX(Y_{I}^m)=\frac{Y_{I}^m}{Y_{II}^m}Y_{II}$$

• 原文(14)式的推导：

  因为：

  $$\begin{aligned} P_n^{S}(\mu)=\frac{k}{n!}=ke^{1}*e^{-1}\frac{1^n}{n!}=keP_n^{C}(1) \end{aligned}$$

  所以：

  $$\begin{aligned} \frac{Y_{I}^m}{Y_{II}^m} &= \frac{\sum_{n=2}^\infty P_n^{S}(\mu)y_n}{\sum_{n=2}^\infty P_n^{C}(\mu')y_n} \\ &= \frac{ek\sum_{n=2}^\infty P_n^{C}(1)y_n}{\sum_{n=2}^\infty P_n^{C}(\mu')y_n} \\ & \leqslant ek\frac{P_2^C(1)}{P_2^C(\mu^{\prime})} \\ &= k\frac{1}{2P_2^C(\mu^{\prime})} \end{aligned}$$

  又由于：

  $$\begin{aligned} \sum_{i=2}^\infty p_i=k\sum_{i=2}^\infty 1/i!=k(e-1)=\epsilon \end{aligned}$$

  得到：$k=\epsilon/(e-1)$；

  所以：

  $$\begin{aligned} \frac{Y_{I}^m}{Y_{II}^m} & \leqslant \frac{\epsilon}{2(e-1)P_2^{C}(\mu')} & <\frac{\epsilon}{P_2^C(\mu^{\prime})} \end{aligned}$$