Ma2005-公式推导

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发布日期: 2025-01-20

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Ma X, Qi B, Zhao Y, et al. Practical decoy state for quantum key distribution[J]. Physical Review A—Atomic, Molecular, and Optical Physics, 2005, 72(1): 012326.

主要内容：

总的来说是一篇奠定目前在用的诱骗态协议雏形的文章；
分析了更一般的诱骗态协议（1强度信号$\mu$ + 2强度诱骗$\nu_1,\nu_2$），相比之下Wang2005只分析了1强度诱骗 + 1真空诱骗的情况；
指出当$\nu_1,\nu_2$无限小时，能准确估计$Y_1$的下界和$e_1$的上界，从而能使$Y_1[1-H_2(e_1)]$最大。这和无限多诱骗态协议是一个效果，因此用诱骗态数目用两个就足够；
分析了2强度诱骗方案相比于2真空诱骗方案的估计误差（$Y_1$和$e_1$），并指出对于1强度诱骗 + 1真空诱骗方案，即使强度诱骗态光子数很高，估计误差也不会有很大影响;
讨论了有限码长带来的统计波动对参数估计的影响（有限码长影响$Q$和$E$的估计，从而影响$Y_1$和$e_1$的估计）。需要注意这种情况下$\nu_1,\nu_2$不是越小越好，因为会使得诱骗态探测事件减小，从而增加统计波动（以摸奖举例，假如彩票公司声称中奖概率$1/10^6$，你人傻钱多想验证下彩票公司是不是没骗你，那么你至少得中个10次8次才能验证，你中个1次2次算出来的中奖概率误差很大）；
提出了单诱骗态协议（1强度）。

1 (10)、(11)

$\begin{aligned} Q_{\mu} &= \sum_{i=0}^{\infty}Y_{i}\frac{\mu^{i}}{i!}e^{-\mu} \\ &= \sum_{i=0}^{\infty}Y_{0}\frac{\mu^{i}}{i!}e^{-\mu}+\sum_{i=0}^{\infty}\eta_{i}\frac{\mu^{i}}{i!}e^{-\mu}\\ &= \sum_{i=0}^{\infty}Y_{0}\frac{\mu^{i}}{i!}e^{-\mu}+\sum_{i=0}^{\infty}[1-(1-\eta)^i]\frac{\mu^{i}}{i!}e^{-\mu}\\ &= Y_{0}+1-\sum_{i=0}^{\infty}\frac{[(1-\eta)\mu]^{i}}{i!}e^{-\mu} \\ &= Y_{0}+1-e^{[(1-\eta)\mu]}e^{-\mu} \\ &= Y_0+1-e^{-\eta\mu} \end{aligned}$ $\begin{aligned} E_{\mu}Q_{\mu} &= \sum_{i=0}^{\infty}e_{i}Y_{i}\frac{\mu^{i}}{i!}e^{-\mu} \\ &= \sum_{i=0}^{\infty}\frac{e_0Y_0+e_{detector}\eta_i}{Y_i}Y_{i}\frac{\mu^{i}}{i!}e^{-\mu} \\ &= \sum_{i=0}^{\infty}(e_0Y_0+e_{detector}\eta_i)\frac{\mu^{i}}{i!}e^{-\mu} \\ &= e_0Y_0+e_{detector}\sum_{i=0}^{\infty}\eta_{i}\frac{\mu^{i}}{i!}e^{-\mu} \\ &= e_0Y_0+e_{detector}(1-e^{-\eta\mu}) \end{aligned}$

2 (12)

当$Y_0$和$\eta$很小时，$Q_{\mu}≈1-e^{-\eta\mu}≈\eta\mu$，$E_{\mu}Q_{\mu}≈e_{detector}(1-e^{-\eta\mu})≈e_{detector}\eta\mu$，所以$E_{\mu}≈e_{detector}$；$\eta_i≈i\eta$也是小值，所以$e_i≈e_{detector}$；$Q_1=Y_1\mu e^{-\mu}=(Y_0+\eta_{1})\mu e^{-\mu}≈(Y_0+\eta)\mu e^{-\mu}≈\eta\mu e^{-\mu}$. 所以：

$\begin{aligned} R &\geqslant q\{-Q_{\mu}f(E_{\mu})H_{2}(E_{\mu})+Q_{1}[1-H_{2}(e_{1})]\} \\ &≈ q\{-\eta\mu f(e_{detector})H_{2}(e_{detector})+\eta\mu e^{-\mu}[1-H_{2}(e_{detector})]\} \end{aligned}$

该式为凸函数，令之导数等于0得式(12).

3 (18)

本质是为了消除$Y1$.

$\begin{aligned} \nu_{1}Q_{\nu_{2}}e^{\nu_{2}}-\nu_{2}Q_{\nu_{1}}e^{\nu_{1}} &= \nu_{1}\sum_{i=0}^\infty Y_i\frac{\nu_{2}^i}{i!}-\nu_{2}\sum_{i=0}^\infty Y_i\frac{\nu_{1}^i}{i!} \\ &= (\nu_1-\nu_2)Y_0 + \sum_{i=0}^\infty (\nu_{1}Y_i\frac{\nu_{2}^i}{i!}-\nu_{2}Y_i\frac{\nu_{1}^i}{i!}) \\ &= (\nu_1-\nu_2)Y_0 +0+ \sum_{i=2}^\infty Y_i\frac{\nu_{1}\nu_{2}^i-\nu_{2}\nu_{1}^i}{i!} \\ &= (\nu_1-\nu_2)Y_0 +0- \nu_{1}\nu_{2}\sum_{i=2}^\infty Y_i\frac{\nu_{1}^{i-1}-\nu_{2}^{i-1}}{i!} \\ &= (\nu_1-\nu_2)Y_0-\nu_1\nu_2\left(Y_2\frac{\nu_1-\nu_2}{2!}+Y_3\frac{\nu_1^2-\nu_2^2}{3!}+\cdots\right) \end{aligned}$

4 (20)

本质是为了消除$Y0$.

$\begin{aligned} \sum_{i=2}^\infty\frac{Y_i}{i!}(\nu_1^i-\nu_2^i) &= \sum_{i=2}^\infty\frac{Y_i}{i!}\frac{\nu_1^i-\nu_2^i}{\mu^{i}}\mu^{i} \\ &\leqslant\frac{\nu_1^2-\nu_2^2}{\mu^2}\sum_{i=2}^\infty Y_i\frac{\mu^i}{i!} \\ \end{aligned}$

5 (25)

因为：

$\begin{aligned} E_{\nu_1}Q_{\nu_1}e^{\nu_1}-E_{\nu_2}Q_{\nu_2}e^{\nu_2} &= e_1Y_1(\nu_1-\nu_2)+\sum_{i=2}^{\infty}e_iY_i\frac{\nu_1^i-\nu_2^i}{i!} \\ & \geqslant e_1Y_1(\nu_1-\nu_2) \\ & \geqslant e_1Y_1^{L,\nu_1,\nu_2}(\nu_1-\nu_2) \end{aligned}$

所以：

$\begin{aligned} e_1\leqslant e_1^{U,\nu_1,\nu_2}=\frac{E_{\nu_1}Q_{\nu_1}e^{\nu_1}-E_{\nu_2}Q_{\nu_2}e^{\nu_2}}{(\nu_1-\nu_2)Y_1^{L,\nu_1,\nu_2}} \end{aligned}$