Rusca2018-公式推导

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发布日期: 2025-01-14

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Rusca D, Boaron A, Curty M, et al. Security proof for a simplified Bennett-Brassard 1984 quantum-key-distribution protocol[J]. Physical Review A, 2018, 98(5): 052336.

主要内容：

提出了三态协议，并将三态协议用于时间相位编码；
给出了三态协议相位误码率$e_x$的计算方法；
提出了一种高效的时间编码方案（这种方案可以直接运用于四态协议）；
对这种高效的时间编码方案进行常规的单诱骗态协议有限码长分析。

1 (1)→(2)

本质思想是发三态时，Alice只能发送$+$，Bob端只能检测$-$，所以得去掉(1)中的$p(+|+)$、$p(-|-)$、$p(+|-)$这几项。
对于(2)式的推导，我们先计算几项找找规律：
$\begin{aligned} p(0|0) &=|\langle 0|\mathcal{U}_{AE}|0\rangle|\phi\rangle|^{2} \\ &=\left\langle\phi_0^0\right|\phi_0^0\rangle \\ \end{aligned}$ $\begin{aligned} p(1|0) &=|\langle 1|\mathcal{U}_{AE}|0\rangle|\phi\rangle|^{2} \\ &=\left\langle\phi_0^1\right|\phi_0^1\rangle \\ \end{aligned}$
于是可以引入写法
$\begin{aligned} p(0|0) &= \left\langle\phi_0^0\right|\phi_0^0\rangle \\ &= \left\langle00\right|00\rangle \end{aligned}$
且不难发现：
$\begin{aligned} p(i|j) = \left\langle ij\right|ij\rangle,(i,j=0,1,+,-) \end{aligned}$
对$i,j=+,-$的情况用$Z$基进行展开，可以得到：
$\begin{aligned} p(+|+) &= \left\langle ++\right|++\rangle \\ &= 1/4 (\langle00|+\langle00|+\langle00|+\langle00|)(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle)\\ &= 1/4 \langle ...|*|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle \end{aligned}$
最后一步仅仅是使用了作者习惯的标记，这个标记可以帮助我们发现算式结构的相似性：
$\begin{aligned} |++\rangle &= 1/2(|0\rangle+|1\rangle)(|0\rangle+|1\rangle) &= 1/2(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle) \end{aligned}$
利用这个规律，不难直接得到：
$\begin{aligned} p(-|+) &= \left\langle -+\right|-+\rangle \\ &= 1/4 \langle ...|*|00\rangle+|01\rangle-|10\rangle-|11\rangle \end{aligned}$ $\begin{aligned} p(-|-) &= \left\langle --\right|--\rangle \\ &= 1/4 \langle ...|*|00\rangle-|01\rangle-|10\rangle+|11\rangle \end{aligned}$ $\begin{aligned} p(+|-) &= \left\langle +-\right|+-\rangle \\ &= 1/4 \langle ...|*|00\rangle-|01\rangle+|10\rangle-|11\rangle \end{aligned}$
于是可得：
$\sum_{i,j=+,-}p(i|j)=\sum_{i,j=0,1}p(i|j)$
另外，我们也能直接得到：
$\begin{aligned} p(0|±) &= \left\langle 0±\right|0±\rangle \\ &= 1/2 \langle ...|*|00\rangle±|01\rangle \end{aligned}$ $\begin{aligned} p(1|±) &= \left\langle 1±\right|1±\rangle \\ &= 1/2 \langle ...|*|10\rangle±|11\rangle \end{aligned}$ $\begin{aligned} p(±|0) &= \left\langle ±0\right|±0\rangle \\ &= 1/2 \langle ...|*|00\rangle±|10\rangle \end{aligned}$ $\begin{aligned} p(±|1) &= \left\langle ±1\right|±1\rangle \\ &= 1/2 \langle ...|*|01\rangle±|01\rangle \end{aligned}$
下面我们再看(1)式，它可以化简为：
$\begin{aligned} e_x &= \frac{p(-|+)+p(+|-)}{\sum_{i,j=0,1}p(i|j)} \\ &= \frac{p(-|+)}{\sum_{i,j=0,1}p(i|j)} +\frac{p(+|-)}{\sum_{i,j=0,1}p(i|j)} \\ &= \frac{p(-|+)}{\sum_{i,j=0,1}p(i|j)} +\frac{\sum_{i,j=0,1}p(i|j)-p(-|+)-p(+|+)-p(-|-)}{\sum_{i,j=0,1}p(i|j)} \\ &= \frac{p(-|+)}{\sum_{i,j=0,1}p(i|j)} +1+\frac{p(-|+)-(2p(-|+)+p(+|+)+p(-|-))}{\sum_{i,j=0,1}p(i|j)} \end{aligned}$
又由于：
$\begin{aligned} p(-|+)+p(+|+) &= 1/4 \langle ...|*|00\rangle+|01\rangle-|10\rangle-|11\rangle \\ &+ 1/4 \langle ...|*|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle \\ &= p(0|+)+p(1|+) \end{aligned}$ $\begin{aligned} p(-|+)+p(-|-) &= 1/4 \langle ...|*|00\rangle+|01\rangle-|10\rangle-|11\rangle \\ &+ 1/4 \langle ...|*|00\rangle-|01\rangle-|10\rangle+|11\rangle \\ &= p(-|0)+p(-|1) \end{aligned}$
所以：
$\begin{aligned}\ e_{x} & =\frac{p(-|+)}{\sum_{i,j=0,1}p(i|j)} + 1+\frac{p(-|+)-\sum_{i=0,1}\left[p(-|i)+p(i|+)\right]}{\sum_{i,j=0,1}p(i|j)} \end{aligned}$
推导到这里就结束了，但是和(2)式相差一个max函数。个人感觉这个max函数是考虑了实际情况中可能会出现max函数里面小于0。

2 (2)→(7)

这里给出一般步骤，往(2)中带入就完事，举例说明，比如：
$p(0|0)= 2*p(t_0|0)$
因为这里Bob仅用$t_0$时间仓作为判别依据。
不难得到所有的表达式：
$p(1|01+)= 2*p(t_2|01+)$ $p(0|01+)= 2*p(t_0|01+)$ $p(-|01+)= p(t_1|01+)$