两种统计分布

1 高斯分布

• 定义
  

  $$\begin{aligned} y &=y_0+\frac{A}{w\sqrt{\pi/2}}e^{-2\frac{(x-x_c)^2}{w^2}}\\ &=y_0+\frac{A}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-x_c)^2}{2\sigma^2}} \end{aligned}$$ $$w=2\sigma$$ $$\mathrm{FWHM}=2\sqrt{2\ln2}\sigma\approx2.355\sigma$$

• 方差的线性可加性

  如果

  $$\begin{array} {l}X\sim N(\mu_X,\sigma_X^2) \\ \\ Y\sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2) \\ \\ Z=X+Y, \end{array}$$

  则

  $$Z \sim N\left(\mu_{X}+\mu_{Y}, \sigma_{X}^{2}+\sigma_{Y}^{2}\right)$$

  下面这个工具计算同一个高斯分布中，以$x_c$为中心的宽度$w_2$内积分与宽度$w_1$内积分之比。可以验证所谓$n\sigma$原则：

  $\sigma$原则：数值分布在$(\mu-\sigma,\mu+\sigma)$中的概率为0.6826；

  $2\sigma$原则：数值分布在$(\mu-2\sigma,\mu+2\sigma)$中的概率为0.9544；

  $3\sigma$原则：数值分布在$(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$中的概率为0.9974；
  

  标准差 (σ)	宽度 w1	宽度 w2	积分比 (w2 / w1)
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  			-
  			-
  			-
  			-

2 洛伦兹分布

• 定义
  

  $$\begin{aligned} y &=y_{0}+\frac{2 A}{\pi} \frac{w}{4\left(x-x_{c}\right)^{2}+w^{2}}\\ &=y_{0}+\frac{A}{\pi}\left[\frac{\gamma}{(x-x_{c})^{2}+\gamma^{2}}\right] \end{aligned}$$ $$\mathrm{FWHM}=w=2\gamma$$