Using Mathematica for Quantum Mechanics：states and operators

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这是我的第一篇博客，没有获奖感言，锻炼下markdown使用以及测试下hexo-renderer-kramed渲染器的稳定性倒是有必要的。

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‘The limits of my language mean the limits of my world.’ —— Ludwig Wittgenstein

量子力学数学语言和代码语言之间的关系是什么？

1 基矢的表示

1.1 算符和量子态的计算机语言

$$\hat{\mathcal{A}}=\sum_{ij}A_{ij} |i\rangle\langle j|,$$ $$|\psi\rangle=\sum_i\psi_i|i\rangle,$$

1.2 有限空间的处理方法

$$\hat{\mathcal{A}}=\mathbb{1} \cdot \hat{\mathcal{A}} \cdot \mathbb{1}=(\hat{P}+\hat{Q}) \cdot \hat{\mathcal{A}} \cdot(\hat{P}+\hat{Q})=\hat{P} \cdot \hat{\mathcal{A}} \cdot \hat{P}+\hat{P} \cdot \hat{\mathcal{A}} \cdot \hat{Q}+\hat{Q} \cdot \hat{\mathcal{A}} \cdot \hat{P}+\hat{Q} \cdot \hat{\mathcal{A}} \cdot \hat{Q} \\ = \underbrace{\sum_{i j} A_{i j}|i\rangle\langle j|}_{\text {within described subspace }}+\underbrace{\hat{P} \cdot \hat{\mathcal{A}} \cdot \hat{Q}+\hat{Q} \cdot \hat{\mathcal{A}} \cdot \hat{P}}_{\text {neglected coupling to (high-energy) part }}+\underbrace{\hat{Q} \cdot \hat{\mathcal{A}} \cdot \hat{Q}}_{\text {neglected (high-energy) part }},$$ $$|\psi\rangle=1\cdot|\psi\rangle=(\hat{P}+\hat{Q})\cdot|\psi\rangle=\underbrace{\sum_i\psi_i |i\rangle}_{\text{within described subspace}}+\underbrace{\hat{Q}|\psi\rangle}_{\text{neglected (high-energy) part}}.$$

2 时不变薛定谔方程

数学语言为：

$$\hat{\mathcal{H}}|\psi\rangle=E|\psi\rangle,$$

计算机语言为：

$$\sum_jH_{mj}\psi_j=E\psi_m,$$

其向量形式为$H\cdot\vec{\psi}=E\vec{\boldsymbol{\psi}}$.

3 时变薛定谔方程

数学语言为：

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi(t)\rangle=\hat{\mathcal{H}}(t)|\psi(t)\rangle,$$

解方程得到：
$|\psi(t)\rangle=\hat{\mathcal{U}}(t_0;t)|\psi(t_0)\rangle$, 其中$\hat{\mathcal{U}}(t_0;t)$为传播子，对其用Magnus expansion得到$\hat{\mathcal{U}}(t_0;t)=\exp\left[\sum_{k=1}^\infty\hat{\Omega}_k(t_0;t)\right]$.

3.1 假设基矢时不变，去解方程

假设$\hat{\mathcal{H}}(t)=\sum_{ij}H_{ij}(t) |i\rangle\langle j|$, $|\psi(t)\rangle=\sum\psi_i(t)\mid i\rangle$, 带入时变薛定谔方程，可以得到
计算机语言为：

$$\mathrm{i}\hbar\dot{\psi}_m(t)=\sum_kH_{mk}(t)\psi_k(t),$$

其向量形式为$\mathrm{i}\hbar\dot{\vec{\boldsymbol{\psi}}}(t)=H(t)\cdot\vec{\boldsymbol{\psi}}(t)$.

3.2 假设基矢时变，去解方程（用于相互作用图景）

相互作用下哈密顿量为：$\hat{\mathcal{H}}(t)=\hat{\mathcal{H}}_0+\hat{\mathcal{H}}_1(t)$. 假设$\hat{\mathcal{H}}_0$可以对角化，即$\hat{\mathcal{H}}_0|i\rangle=E_i|i\rangle$, 则时变基矢表达式为：$|i(t)\rangle=e^{-\mathrm{i}E_it/\hbar}|i\rangle$, 于是可以将量子态用时变基展开：

$$|\psi(t)\rangle=\sum_i\psi_i(t)\mid i(t)\rangle=\sum_i\psi_i(t)e^{-\mathrm{i}E_it/\hbar}|i\rangle,$$

将之带入时变薛定谔方程，可以得到
计算机语言为：

$$\mathrm{i}\hbar\dot{\psi}_k(t)=\sum_j\psi_j(t)e^{-\mathrm{i}(E_j-E_k)t/\hbar}\langle k|\hat{\mathcal{H}}_1(t)|j\rangle=\sum_j\psi_j(t)e^{-\mathrm{i}(E_j-E_k)t/\hbar}{\mathcal{H}}_{1_{kj}}(t).$$

3.3 特殊情况： $\left[\hat{\mathcal{H}}(t),\hat{\mathcal{H}}(t’)\right]=0 \forall(t,t’)$

可以直接解出薛定谔方程，其
计算机语言为：

$$\vec{\boldsymbol{\psi}}(t)=\exp\left[-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int_{t_0}^t\boldsymbol{H}(s)\mathrm{d}s\right]\cdot\vec{\boldsymbol{\psi}}(t_0).$$

3.4 特殊情况： 哈密顿量是时不变的

可以直接解出薛定谔方程，其
计算机语言为：

$$\vec{\boldsymbol{\psi}}(t)=\exp\left[-\frac{\mathrm{i}(t-t_0)}\hbar\boldsymbol{H}\right]\cdot\vec{\boldsymbol{\psi}}(t_0).$$

phi:= = Flatten[KroneckerProduct[ phi1, phi2, phi3]]

4 基矢的计算机构造

4.1 多维系统的描述

多维量子态的数学描述如下：

$$\begin{aligned}|\psi\rangle=\left[\sum_{i_1=1}^{n_1}\psi_{i_1}^{(1)}|i_1\rangle^{(1)}\right]\otimes\left[\sum_{i_2=1}^{n_2}\psi_{i_2}^{(2)}|i_2\rangle^{(2)}\right]\otimes\cdots\otimes\left[\sum_{i_N=1}^{n_N}\psi_{i_N}^{(N)}|i_N\rangle^{(N)}\right]\\&\\=\sum_{i_1=1}^{n_1}\sum_{i_2=1}^{n_2}\cdots\sum_{i_N=1}^{n_N}\left[\psi_{i_1}^{(1)}\psi_{i_2}^{(2)}\ldots\psi_{i_N}^{(N)}\right]|i_1,i_2,\ldots,i_N\rangle\end{aligned},$$

计算机语言为：

U[∆t_?NumericQ] := MatrixExp[-I*H*N[∆t]/~]

多维算符的数学描述如下：

$$\begin{aligned}\hat{A}=\left[\sum_{i_{1}=1}^{n_{1}}\sum_{j_{1}=1}^{n_{1}}a_{i_{1},j_{1}}^{(1)}|i_{1}\rangle^{(1)}\langle j_{1}|^{(1)}\right]\otimes\left[\sum_{i_{2}=1}^{n_{2}}\sum_{j_{2}=1}^{n_{2}}a_{i_{2},j_{2}}^{(2)}|i_{2}\rangle^{(2)}\langle j_{2}|^{(2)}\right]\otimes\cdots\otimes\left[\sum_{i_{N}=1}^{n_{N}}\sum_{i_{N}=1}^{n_{N}}a_{i_{N},j_{N}}^{(N)}|i_{N}\rangle^{(N)}\langle j_{N}|^{(N)}\right]\\&\\=\sum_{i_{1}=1}^{n_{1}}\sum_{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum_{i_{2}=1}^{n_{2}}\sum_{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots\sum_{i_{N}=1}^{n_{N}}\sum_{j_{N}=1}^{n_{N}}\left[a_{i_{1}j_{1}}^{(1)}a_{i_{2}j_{2}}^{(2)}\cdots a_{i_{N}j_{N}}^{(N)}\right]|i_{1},i_{2},\ldots,i_{N}\rangle\langle j_{1},j_{2},\ldots,j_{N}|.\end{aligned}$$

计算机语言为：

A = KroneckerProduct[a1, a2, a3]

我们经常考察作用在某一成员空间的算符，这种算符的
计算机语言（假设为三体系统）为

H1 = KroneckerProduct[h1,
                    IdentityMatrix[Dimensions[h2]],
                    IdentityMatrix[Dimensions[h3]]];
H2 = KroneckerProduct[IdentityMatrix[Dimensions[h1]],
                    h2,
                    IdentityMatrix[Dimensions[h3]]];
H3 = KroneckerProduct[IdentityMatrix[Dimensions[h1]],
                    IdentityMatrix[Dimensions[h2]],
                    h3];

4.2 偏迹的描述

数学描述如下，假如有一个三体系统：

$$\hat{\rho}_{\mathrm{ABC}}=\sum_{i,i^{\prime}=1}^{d_{\mathrm{A}}}\sum_{j,j^{\prime}=1}^{d_{\mathrm{B}}}\sum_{k,k^{\prime}=1}^{d_{\mathrm{C}}}\rho_{i,j,k,i^{\prime},j^{\prime},k^{\prime}}|i_{\mathrm{A}},j_{\mathrm{B}},k_{\mathrm{C}}\rangle\langle i_{\mathrm{A}}^{\prime},j_{\mathrm{B}}^{\prime},k_{\mathrm{C}}^{\prime}|,$$

其中$\rho$是个6维张量。对B求偏迹的数学公式为：

$$\begin{gathered} \hat{\rho}_{\mathrm{AC}}=\sum_{j^{\prime\prime}=1}^{d_{\mathrm{B}}}\langle j_{\mathrm{B}}^{\prime\prime}|\hat{\rho}_{\mathrm{ABC}}|j_{\mathrm{B}}^{\prime\prime}\rangle\\=\sum_{j^{\prime\prime}=1}^{d_{\mathrm{B}}}\langle j_{\mathrm{B}}^{\prime\prime}|\left\lfloor\sum_{i,i^{\prime}=1}^{d_{\mathrm{A}}}\sum_{j,j^{\prime}=1}^{d_{\mathrm{B}}}\sum_{k,k^{\prime}=1}^{d_{\mathrm{C}}}\rho_{i,j,k,i^{\prime},j^{\prime},k^{\prime}}|i_{\mathrm{A}},j_{\mathrm{B}},k_{\mathrm{C}}\rangle\langle i_{\mathrm{A}}^{\prime},j_{\mathrm{B}}^{\prime},k_{\mathrm{C}}^{\prime}|\right\rfloor|j_{\mathrm{B}}^{\prime\prime}\rangle \\ =\sum_{j^{\prime\prime}=1}^{d_{B}}\sum_{i,i^{\prime}=1}^{d_{A}}\sum_{j,j=1}^{d_{B}}\sum_{k,k^{\prime}=1}^{d_{C}}\rho_{i,j,k,i^{\prime},j^{\prime},k^{\prime}}\langle j_{B}^{\prime\prime}|i_{A},j_{B},k_{C}\rangle\langle i_{A}^{\prime},j_{B}^{\prime},k_{C}^{\prime}|j_{B}^{\prime\prime}\rangle\\=\sum_{j^{\prime\prime}=1}^{d_{B}}\sum_{i,i^{\prime}=1}^{d_{A}}\sum_{j,j^{\prime}=1}^{d_{B}}\sum_{k,k^{\prime}=1}^{d_{C}}\rho_{i,j,k,i^{\prime},j^{\prime},k^{\prime}}[\delta_{j^{\prime\prime},j}|i_{A},k_{C}\rangle]\left[\delta_{j^{\prime\prime},j^{\prime}}\langle i_{A}^{\prime},k_{C}^{\prime}\right|] \\ =\sum_{i,i^{\prime}=1}^{d_{A}}\sum_{k,k^{\prime}=1}^{d_{C}}\left[\sum_{j=1}^{d_{B}}\rho_{i,j,k,i^{\prime},j,k^{\prime}}\right]|i_{A},k_{C}\rangle\langle i_{A}^{\prime},k_{C}^{\prime}|, \end{gathered}$$

可见这是对6维张量在2&5维上的压缩操作。
所以用计算机语言去表示偏迹，可以先把$\hat{\rho}_{\mathrm{ABC}}$重塑成6维张量：

R = ArrayReshape[ρABC, {dA,dB,dC,dA,dB,dC}]

然后在2&5维上进行压缩操作：

S = TensorContract[R, {2,5}]

最后再还原成密度矩阵形式(2维张量)：

ρAC = Flatten[S, {{1,2}, {3,4}}]