线性和非线性效应公式速查

1 线性效应

• 对$n(\omega)$在$\omega_0$处展开

  $$n(\omega)=n(\omega)=n_0+n_1(\omega-\omega_0)+\frac{1}{2!}n_2(\omega-\omega_0)^2+\frac{1}{3!}n_3(\omega-\omega_0)^3+\cdots$$ $$n_i=(\frac{d^in}{d\omega^i})_{\omega=\omega_0}$$

  注：这里采用笔者的书写习惯，$n_2$并非kerr系数。表示非线性均用大写$N$.

• 对$\beta(\omega)$在$\omega_0$处展开

  $$\beta(\omega)=n(\omega)\frac{\omega}{c}=\beta_0+\beta_1(\omega-\omega_0)+\frac{1}{2!}\beta_2(\omega-\omega_0)^2+\frac{1}{3!}\beta_3(\omega-\omega_0)^3+\cdots$$ $$\beta_i=(\frac{d^i\beta}{d\omega^i})_{\omega=\omega_0}=(\omega n_i+in_{i-1})/c$$

  其中一次项和二次项需要关注，它们分别称作一阶色散/群延迟和二阶色散

  $$\beta_1=(\omega n_1+n)/c=1/v_g$$ $$\beta_2=(\omega n_2+2n_1)/c$$

• 对$\omega({\mu})$在$\mu=0处$展开，$\omega({\mu})$代表周期性频谱的谐振角频率

  $$\omega(\mu)=\omega_{0}+D_{1} \mu+\frac{D_{2}}{2!} \mu^{2}+\frac{D_{3}}{3!} \mu^{3}+\ldots \quad(\mu=\ldots-3,-2,-1,0,1,2,3 \ldots)$$ $$D_i=(\frac{d^i\omega}{d\mu^i})_{\omega=\omega_0}$$

  由于$m$和$\mu$是同一个物理量，所以$n(\omega)\cdot\omega\cdot L/c=2\pi m$两边分别对$m$求导可得$D_i$.
  其中一次项和二次项需要关注，它们分别称作一阶色散系数/FSR和二阶群速度色散系(2-order GVD)：

  $$D_1=\frac{2\pi}{\beta_1L}=2\pi\frac{v_g}{L}=FSR(rad/s)$$ $$D_2=-\frac{\beta_2D_1^2}{\beta_1}(rad/s)$$

• 色散参量

  $$D=\frac{d\beta_1}{d\lambda}=\frac{d}{d\omega}\left(\frac{d\beta}{d\omega}\right)\cdot\frac{d\omega}{d\lambda}=\beta_2\cdot\frac{d\omega}{d\lambda}$$ $$\frac{d\omega}{d\lambda}=-\frac{2\pi c}{\lambda^2}$$ $$D=-\beta_2\cdot\frac{2\pi c}{\lambda^2}(s/m^2)$$

  其单位一般为ps/nm/km，描述光纤或波导中波长引起的脉冲展宽。该物理量和$D_2$不同，后者代表FSR随模序的变化。

• 正常色散和反常色散
  正常色散：$\beta_2>0,D<0,D_2<0$,低频快

  反常色散：$\beta_2<0,D>0,D_2>0$,高频快

2 非线性效应

• 3阶非线性(Kerr)

  $$\begin{aligned} \vec{P} &= \vec{P}^{(1)} + \vec{P}^{(2)} + \vec{P}^{(3)} + \cdots \\ &= \boldsymbol{\varepsilon}_0\left(\boldsymbol{\chi}^{(1)} \cdot \vec{E} + \boldsymbol{\chi}^{(2)} {:} \vec{E} \vec{E} + \boldsymbol{\chi}^{(3)} {:} \vec{E} \vec{E} \vec{E} + \cdots\right), \end{aligned}$$

  :表示高阶张量乘积。每个维度上的极化强度为：

  $$\begin{aligned} P_i &= {P_i}^{(1)}+{P_i}^{(2)}+{P_i}^{(3)} \\ &= \boldsymbol{\varepsilon}_0\left(\sum_{j}\chi_{ij}^{(1)}E_{1j}+\sum_{jk}\chi_{ijk}^{(2)}E_{1j}E_{2k}+\sum_{jkl}\chi_{ijkl}^{(3)}E_{1j}E_{2k}E_{3l}+\cdots\right),(i,j,k...\in\{x,y,z\}) \end{aligned}$$

  假设所有电场同一个方向极化，且我们只考虑该方向上的极化强度（因为我们的目的是求出该方向上的折射率，只有该方向上的折射率会影响电场），所以极化强度可退化为标量形式：

  $$P(\boldsymbol{r},t)=\epsilon_0\left(\chi^{(1)}E(\boldsymbol{r},t)+\chi^{(2)}E^2(\boldsymbol{r},t)+\chi^{(3)}E^3(\boldsymbol{r},t)+\ldots\right)$$

  再着重考虑Kerr效应：

  $$P^{(3)}(\boldsymbol{r},t)=\epsilon_{0}\chi^{(3)}\left(E_{1}(\boldsymbol{r})e^{i\omega_{1}t}+E_{2}(\boldsymbol{r})e^{i\omega_{2}t}+E_{3}(\boldsymbol{r})e^{i\omega_{3}t}+\mathrm{c.c.}\right)^{3}$$

  去掉44项中相消的项，得到：

  $$P^{(3)}(\boldsymbol{r},t)=\epsilon_0\chi^{(3)}\left(E(\boldsymbol{r})\cos\omega t\right)^3=\frac{1}{4}\epsilon_0\chi^{(3)}E^3(\boldsymbol{r})\cos3\omega t+\frac{3}{4}\epsilon_0\chi^{(3)}E^3(\boldsymbol{r})\cos\omega t$$

  我们只需要三次项，因为一次项归于泵浦被滤除。于是可得：

  $$P^{(3)}(\boldsymbol{r},t)=\frac{3}{4}\epsilon_0\chi^{(3)}E^3(\boldsymbol{r})\cos\omega t=\epsilon_0\epsilon_{NL}E(\boldsymbol{r},t)$$ $$\epsilon_{NL}=\frac{3}{4}\chi^{(3)}|E(\boldsymbol{r},t)|^2$$ $$\begin{aligned} n^{\prime} &=\left(1+\chi^{(1)}+\epsilon_{NL}\right)^{1/2}\\ &\approx n+\frac{\epsilon_{NL}}{2n}\\ &=n+N_2I\\ &=n+(3\chi^{(3)}/4n^2\epsilon_0c)*(n\epsilon_0c|E|^2/2) \end{aligned}$$

  另外定义$\gamma$:

  $$\gamma=\frac{\omega_0N_2}{cA_\mathrm{eff}}$$

• Kerr腔体光学

  • Ikeda Map

    • 未归一化

      $$\begin{aligned} \frac{\partial A}{\partial z} &=-\frac{\alpha_{i}}{2}A-i\frac{\beta_{2}}{2}\frac{\partial^{2}A}{\partial t^{2}}+i\gamma|A|^{2}A,\\ A^{m+1}(0,t) &=\sqrt{1-\theta}e^{-i\delta}A^{m}(L,t)+\sqrt{\theta}A_{\mathrm{in}} \end{aligned}$$

    • 归一化

      $$\begin{aligned} \frac{\partial\psi^{m}}{\partial\xi} &=-\frac{\alpha}{2}\psi^m-is\frac{\partial^2\psi^m}{\partial\tau^2}+i|\psi^m|^2\psi^m,\\ \psi^{m+1}(0,\tau) &=\sqrt{1-\alpha}e^{-i\delta}\psi^{m}(1,\tau)+\sqrt{\alpha}\psi_{\mathrm{in}}. \end{aligned}$$

  • LLE(本质是Ikeda Map精简版，适用于慢变光场，减小计算量)

    • 归一化 $$\frac{\partial\psi}{\partial\eta}=-\left(\alpha+i\delta\right)\psi-is\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\tau^{2}}+i{\left|\psi\right|}^{2}\psi+\sqrt{\alpha}\psi_{\mathrm{in}}$$

  • 归一化系数等参数

    $$\xi=\frac{z}{z_0},\quad\tau=\frac{t}{t_0},\quad\psi=\frac{A}{A_0},\quad\psi_{in}=\frac{A_{in}}{A_0}$$ $$z_0=L,\quad t_0=\sqrt{\frac{|\beta_2|L}{2}},\quad A_0=\sqrt{\frac{1}{L\gamma}}$$

真空λ (nm)	n (有效折射率的实数部分)	β2	chi3	r (um)	Aeff (nm²)	L (um)	N2 (m²/W)	γ (标准单位)	t0 (fs)	A0 (V/m)
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