单参量、二参量酉变换的一些不对称性

简介

去年设计光芯片QKD解码端时，用Mathematica仿真时发现单参量、双参量酉变换对于偏振态的变换具有不对称性，有点违反物理直觉，当时没有时间细究。最近流片完成，准备简单封装下用起来，正好趁机好好研究一下，发现其中并没有很巧妙，但也值得记录一下。

当时仿真的结果如下：单参量酉变换可以让X基和Y基的偏振态遍历一个大圆平面，却不可以让Z基偏振态甚至移动一下（仿真中看到的一小段圆弧经确认是数值计算的误差）；二参量酉变换可以让X基和Y基的偏振态遍历整个邦加球，却只能让Z基偏振态遍历一个大圆平面。总之，就是展现出了极强的不对称性。

全参量酉变换

这其实是个4参量酉变换，属于$U(2)$，其中每个参量都是实数。这里说明一下，$SU(2)$只有三个实参数，因为多了一个行列式为1的限制条件。真实物理世界中，描述偏振旋转的算符实际上应该属于$SU(2)$，因为量子态或者偏振态并不考虑全局相位。

考察该算符每一项，可以发现每一个都属于$SU(2)$. 对照偏振旋转算符$R_{\hat{n}}(\theta)=\cos\frac{\theta}{2}I-i\sin\frac{\theta}{2}(\hat{n}\cdot\sigma)$（该算符表示绕$\hat{n}$逆时针旋转$\theta$），可以发现第一/三个算符为$R_{Z}(\beta)$/$R_{Z}(\delta)$，第二个算符为$R_{Y}(\gamma)$. 因此，该操作相当于绕$Z(S1)$逆时针转，再绕$Y(S3)$逆时针转，再绕$Z(S1)$逆时针转。

单参量酉变换

设计中使用的单参量酉变换如下：

$$\begin{aligned} U(\theta)&=U_{MMI}U_{PS}(\theta) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array} {cc}{1} & {i} \\ {i} & {1} \end{array}\right)\left( \begin{array} {cc}{e^{i\theta}} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right) \\ \end{aligned}$$

可以发现，$U_{MMI}=R_{X}(-\pi/2)$，$U_{PS}=R_{Z}(-\theta)$，所以该变换的作用是把路径态先绕$Z(S1)$逆时针旋转$\theta$ ，再绕$X(S2)$顺时针旋转$90°$. 因此对于Z基上的态，该酉变换只能将其变换到X基上的态，而可以将X基的PN态和Y基的RL态遍历一个大圆。

双参量酉变换

设计中使用的双参量酉变换如下：

$$\begin{aligned} U(\theta)&=U_{MMI}U_{PS}(\alpha)U_{MMI}U_{PS}(\theta) \\ &=\frac{1}{2}\left( \begin{array} {cc}{1} & {i} \\ {i} & {1} \end{array}\right)\left( \begin{array} {cc}{e^{i\alpha}} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right) \left( \begin{array} {cc}{1} & {i} \\ {i} & {1} \end{array}\right)\left( \begin{array} {cc}{e^{i\theta}} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right) \\ \end{aligned}$$

可以发现，该变换由两个单参量酉变换组成，第一个单参量酉变换可以将Z基的态移动到Y基，而第二个单参量酉变换将Y基的态变换到大圆。对于本身处于X和Y基的态，该变换则可以使它们遍历整个邦加球。